# Продолжение отрывков из Рассуждения о чистой математике

Дмитрий Матвеевич Перевощиков

Продолженіе отрывковъ изъ Разсужденія о чистой Маѳематикѣ.


VII

Упадокъ и возобновленіе Маѳематики.


Ежели послѣ той обильной жатвы, которую собрали мы на поляхъ Греческой Маѳематики, обратимъ взоръ свой къ учености народа, прославившагося своею непобѣдимостію; то съ удивленіемъ увидимъ, что сей народъ, имѣвшій и славныхъ поетовъ и славныхъ ораторовъ, не имѣлъ ни одного Маѳематика, которой бы занимался наукою счета и измѣренія съ достопримѣчательными успѣхами, и принесъ бы ей какую-либо значительную пользу. Я говорю о Римлянахъ. Воинственный духъ основателя ихъ государства перешелъ къ потомству и долгое время былъ вреденъ для наукъ. Чудная политика правителей Рима издавала повелѣнія объ изгнаніи философовъ, приходящихъ изъ Греціи съ своими познаніями; отъ сего-то невѣжество Римлянъ даже въ самыхъ обыкновенныхъ и необходимыхъ вещахъ было чрезвычайно. Болѣе четырехъ столѣтій не умѣли она раздѣлять день, и знали точно восхожденіе и захожденіе солнца; семь столѣтій, т. е. до Юлія-Цезаря, календарь ихъ былъ неисправенъ до невѣроятности; не прежде первой Пунической войны увидѣли они у себя солнечные часы, неискусно устроенныя Консуломъ Валеріемъ Мессалою. Даже въ позднѣйшія времена, считая отъ основанія сего государства, маѳематическія науки оставались въ пренебреженіи: мы знаемъ, что Варронъ, Цицеронъ, Страбонъ и нѣкоторые другіе просвѣщенные Римляне занимались Маѳематикою чистою и прикладною; но ихъ занятія не имѣли цѣлію распространеніе или усовершенствованіе сей науки.

Въ концѣ четвертаго столѣтія по Р. X. Ѳеодосій раздѣлилъ Римскую имперію на Восточную и Западную. Въ сей послѣдней, по истеченіи одного вѣка начинала показываться заря маѳематическихъ познаній. Боецій составилъ Ариѳметику и Геометрію, которыя были не иное что, какъ вольные переводы Ариѳметики Никомаха и Елементовъ Евклида Бода, Монахъ Англійскій, славился ученостію въ половинѣ осьмаго столѣтія: онъ написалъ одну книгу о числахъ и другую о дѣленіи чиселъ, изъ коей видно, съ какимъ трудомъ производилось сіе дѣйствіе въ его время. Ученикъ Беды и учитель Карла Великаго, Алкуинъ, былъ ученѣйшій мужъ девятаго вѣка, одно изъ его сочиненій называется Propositiones arithmeticoe aисиendos juvenes и содержитъ въ себѣ различныя увеселительныя задачи касательно чиселъ. -- По смерти Kapла Великаго Западъ снова покрытъ былъ густою тмою невѣжества до половины десятаго столѣтія.

Во второй половинѣ сего столѣтія Жербертъ (Gerbert), родившійся въ Овернѣ, вступилъ въ монастырь Флери (de Fleuri) для изученія тѣмъ познаніямъ, которыя преподавались къ семъ монастырѣ подъ руководствомъ ученаго Аббата Аббона. Но Жербертъ, достойный, можетъ быть, благоприятнѣйшихъ обстоятельствъ, скоро почувствовалъ маловажность монастырскихъ наставленій, и исходатайствовалъ себѣ позволеніе отправиться въ Испанію, гдѣ Мавры имѣли въ то время двѣ знаменитыя школы, въ Кордуѣ и Гренадѣ. Тамъ прилѣпился онъ къ Маѳематикѣ, даже превзошелъ своихъ учителей и возвратился въ отечество съ превосходными для того времени познаніями. Написавъ книгу о Геометріи, въ которой показалъ, что ему извѣстны Евклидъ и Архимедъ, и сообщивъ современникамъ своимъ понятіе объ Ариѳметикѣ Арабовъ (около 970 или 980 года), Жербертъ возбудилъ во многихъ изъ нихъ желаніе послѣдовать ему, и Испанія сдѣлалась для Европы тѣмъ, что былъ нѣкогда Египетъ для Грековъ. Изъ послѣдователей Жерберту достойны замѣчанія Англійскій монахъ Адгелардъ (Adhelard) и Платонъ изъ Тиволи; который перевелъ на Латинскій языкъ Евклидовы Елементы, а вторый Ѳеодосіевы Сферики.

Въ тринадцатомъ вѣкѣ соревнованіе къ ученію болѣе усилилось: Іорданъ Неморарій, написавшій десять книгъ объ Ариѳметикѣ, Іоаннъ Галифаксъ или Сакро-Баско, послѣ котораго остались сочиненія объ Астролабіи и объ Арабской Ариѳметикѣ, Компанусъ изъ Наварры, переводчикъ и комментаторъ Евклидовыхъ Елементовъ, наконецъ Албертъ Великій, занимавшійся всѣми извѣстными тогда науками, составляли украшеніе сего вѣка и были предметами удивленія невѣжествующихъ своихъ согражданъ.

Но первое мѣсто между возстановителями наукъ занимаетъ Англичанинъ Рожеръ Баконъ, прозванный отъ современниковъ Докторомъ удивительнымъ. Онъ, потомокъ древняго и знаменитаго поколѣнія, родился въ 1214 году въ Ильчестерѣ, что въ Графствѣ Соммерсетскомъ. Послѣ начальнаго ученія Рожеръ вступилъ въ Оксфордскій университетъ, изъ коего перешелъ въ Парижскій, гдѣ съ величайшимъ прилѣжаніемъ слушалъ наставленія искуснѣйшихъ учителей, сдѣлалъ необыкновенные успѣхи, за которые награжденъ степенію Доктора Ѳеологіи. Возвратясь въ Англію въ 1240, онъ вступилъ въ монашество ордена Св. Франциска и поселися въ Оксфордѣ.

Физика была главнымъ предметомъ занятій Бакона. Хотя упражненія въ сей наукѣ, и требовали пособій, которыя превосходили его состояніе, однако онъ имѣлъ счастіе найти великодушныхъ друзей наукъ, которыя помогли, ему купить книги, завестись снарядами и дѣлать опыты. Онъ самъ говоритъ, что въ теченіи двадцати лѣтъ употреблено имъ на сей предметъ двѣ тысячи фунтовъ стерлинговъ. Труды его увѣнчались счастливыми успѣхами, показавшимися для невѣждъ чудесными и возбудившими зависть. Начались гоненія. Папа Иннокентій IV сперва запретилъ Бакону учить въ Университетѣ; но увидѣвъ, что сіе наказаніе слишкомъ умѣренно, велѣлъ заключить его въ темницу и тѣмъ лишить сообщенія съ людьми. Заключеніе кончилось, съ восшествіемъ на Папскій престолъ Климента IV, который, сдѣлавшійся покровителемъ Бакона, потребовалъ отъ него собранія всѣхъ его сочиненій; сіе-то собраніе извѣстно подъ титуломъ Ориs majus. Но спокойствіе Рожера было непродолжительно: Іеронисъ Ескуло, Генералъ Францискановъ, возсталъ на него и отъ преемника Климента IV исходатайствовалъ повелѣніе заключить его опять въ темницу, гдѣ просидѣлъ онъ до конца Папства сего Іеронима, извѣстнаго подъ именемъ Николая IV. Послѣ сего Баконъ возвратился въ Оксфордъ и въ 1294 году переселился къ своимъ предкамъ на укоризну гонителямъ.

Справедливое и болѣе просвѣщенное потомство; сравнивая Бакона съ его современниками, видитъ въ немъ человѣка необыкновеннаго, одареннаго обширнымъ и проницательнымъ умомъ. Онъ сдѣлалъ многія открытія въ Оптикѣ, въ Химіи, въ Механикѣ; ему приписываютъ изобрѣтеніе телескоповъ и пороха; главныя его сочиненія суть:

I. Epistola fratris Rogerii Baconis de secretis operibus artis et naturae, et de nullitate magiae. Парижъ, въ четвертую долю листа, 1542; а въ Базелѣ то же сочиненіе напечатано въ 1593 году; потомъ оно же издано въ Гамбургѣ въ 1598, 1608 и 1618 годахъ.

II. Opus majus,, въ листъ, Лондонское изданіе, 1755 года. Сіе собраніе есть основаніе славы Рожера Бакона; оно состоитъ изъ шести книгъ и содержитъ въ себѣ многія разсужденія касательно Философіи, Механики и Физики. Тутъ можно найти справедливыя наблюденія надъ астрономическимъ преломленіемъ, надъ видимою величиною предметовъ и особенно солнца и луны, когда онѣ бываютъ при горизонтѣ.

III. Многія сочиненія химическія, напечатанныя въ Thesaurus chemicus, Франкфуртъ, въ 1603, 1620 годахъ.

IV. De redardandis senectutis accidentibush изданныя, въ первый разъ въ Оксфордѣ 1590,

Хотя въ четырнадцатомъ вѣкѣ предразсудки грубаго невѣжества и зависти имѣли еще свои жертвы, однако свѣтъ наукъ началъ уже повсемѣстно разгонять, тму, покрывавшую Европу. Въ семъ вѣкъ изобрѣтенъ компасъ; Италія, Англія, Германія и Франція имѣли многихъ любителей Маѳематики. Напримѣръ, можно замѣтить Біагіо Пелакано, писавшаго объ Ариѳметикѣ, Геометріи и о другихъ частяхъ Маѳематики; Паоло-дель-Абако, который первый изъ своихъ современниковъ занимался Алгеброю; и Николая Орезма, сочинителя трактата de proportionibus.


VIII.

Успѣхи Маѳематики въ XV и XVI столѣтіяхъ.


Пятнадцатый вѣкъ можно назвать прекрасною заpeю Маѳематическихъ познаній: ихъ усовершенствованію способствовало распространеніе вкуса къ изученію Греческаго, языка и непосредственное сообщеніе съ учеными Греками, удалившимися въ Италію изъ несчастнаго своего отечества. Выше замѣчено, что италіянецъ Паоло-дель-Абако занимался уже алгебраическими выкладками; но, его занятія не имѣли важныхъ послѣдствій, такъ что Леонарда Пизскаго (Leonard de Pise), который путешествовалъ во владѣнія Арабовъ, надлежитъ считать первымъ переселителемъ Алгебры въ Европу. Распространенію сей части Маѳематики содѣйствовалъ также Проздокимо Вельдомандо, издатель книги подъ титуломъ dell'Algorithmo, и въ половинѣ пятнадцатаго столѣтія алгебраисты умѣли уже разрѣшать уравненія второй степени. По столь счастливому началу надлежало ожидать, важныхъ успѣховъ; но сіе ожиданіе не исполнилось по той причинѣ, что упражняющіеся въ Маѳематикѣ обращали особенное вниманіе не на ѳеорію анализа, но на астрономію, которая, замѣтимъ мимоходомъ, получила въ семъ столѣтіи важное приращеніе. Поелиаку сія наука о теченіи и разположеніи свѣтилъ небесныхъ основывается на тригонометріяхъ плоской и сферической, то изъ всѣхъ частей чистой Маѳематики токмо сіи двѣ въ пятнадцатомъ вѣкѣ доведены до такого состоянія; что для ихъ совершенства недоставало однихъ логариѳмовъ.

Георгъ Пурбахъ, родившійся въ мѣстечкѣ того же имени, лежащемъ на границахъ Австріи и Баваріи, и учившійся у Іоанна Гмундена, Профессора Астрономіи въ Вѣнскомъ Университетѣ, и Регіомонтанусъ или Іоаннъ Мюллеръ изъ Франковіи, были, такъ сказать, отцами той Тригонометріи, которая употребляется нынѣ съ перемѣнами и прибавленіями, зависящими отъ времени и лучшаго состоянія всѣхъ частей Маѳематики, особенно анализа. Первый изъ сихъ знаменитыхъ мужей, открывшій многія новыя истины въ наукѣ о разрѣшеніи треугольниковъ, дошедшей до него въ астрономическихъ и другихъ касательно сего предмета твореніяхъ древнихъ, преобразовалъ ее тѣмъ, что вмѣсто хордъ, вычисленныхъ въ 60хъ частяхъ радіуса, употребилъ синусы дугъ, вычисленные уже въ 600-тысячныхъ частяхъ онаго. Знающимъ сію науку извѣстны выгоды, происходящія отъ употребленія синусовъ и отъ дѣленія радіуса но большее число частей. Если бы безвременная кончина Пурбаха не исхитила у маѳематическихъ наукъ главнаго ихъ поборника: то онъ сдѣлалъ бы для Тригонометріи все то, чѣмъ она обязана ученику его и другу Регіомонтанусу, написавшему Трактатъ о треугольникѣ, состоящій изъ пяти книгъ. Сей трактатъ есть полная Тригонометрія: тутъ употреблены синусы, вычисленные уже въ милліонныхъ частяхъ радіуса и введены тангенсы. Но труды Регіомонтануса въ чистой Маѳвматикѣ симъ не ограничиваются: онъ перевелъ Сферики Менелая и Ѳеодосія, Коническія сѣченія Аполлонія и Цилиндрическія Серена; исправилъ переводъ Архимедовыхъ сочиненій, сдѣланный Жерардомъ Креадонскимъ; писалъ Комментарій на тѣ книги сего древняго Геометра, которыхъ не коснулся Евтокій; защищалъ Евклидово опредѣленіе пропорціональныхъ величинъ противъ Компануса и маѳематиковъ Арабскихъ. Регіомонтанусъ также былъ искусенъ въ Механикѣ, и многіе упоминаютъ объ его механической мухѣ, которая вылетала изъ его руки и возвращалась опять на прежнее свое мѣсто, и объ орлѣ, который будто бы парилъ предъ Императоромъ, въѣзжавшимъ въ столицу: истинныя дѣйствія, украшенныя изумленными современниками {Повѣствуютъ, что сынъ Теорга Требизондскаго, переведшаго Птоломея и Ѳеона, озлобился на Регіомонтануса за критику на сей переводъ и отравилъ его: чего лучшаго ожидать отъ того времени, когда даже нынѣ за самую благонамѣренную критику сердятся какъ за похищеніе добраго имени? Соч.}.

Между прочими Маѳематиками пятнадцатаго столѣтія достоинъ особеннаго замѣчанія Лука Паччіоли, прозванный Бурго отъ имени Тосканскаго города Борго-Санъ-Сеполькра; его главное сочиненіе есть Summa de Arithmetica, Geometria, proportioni é proportionalita, и то, имѣющее чрезвычайно длинное заглавіе, сообразное со вкусомъ того времени. Оно раздѣлено на двѣ части. Первая заключаетъ въ себѣ Ариѳметику, отличающуюся отъ прочихъ тѣмъ, что въ ней находится правило, положеній, изобрѣтенное Арабами; въ сей же части изложены начальныя основанія Алгебры, которую Бурго называетъ Arte maggiore; отъ сего-то наименованія получила Алгебра титулъ великаго искусства, коимъ величали ее Карданъ и другіе Маѳематики. Въ сихъ основаніяхъ Бурго доходитъ до уравненій второй степени; его правила для разрѣшенія сихъ, уравненій, отличаются отъ нынѣшнихъ только тѣмъ, что нынѣ предлагаютъ общій способъ для всѣхъ видовъ уравненій второй степени, а Бурго говоритъ о каждомъ особенно. Изъ его наставленіи явствуетъ, что въ то время, не знали еще употребленія корней отрицательныхъ. Сверхъ того надлежитъ замѣтить, что неизвѣстное или истинное количество, именовалось тогда cosa (вещь), квадратъ его censo (произведеніе), третія степень cubo, четвертая il censo di censo, и пр.; сложеніе, вычитаніе и равенство означались начальными буквами словъ: болѣе, менѣе, равно. Вторая часть описываемой книги состоитъ изъ посредственной Геометріи и многихъ геометрическихъ задачъ, разрѣшенныхъ посредствомъ Алгебры; но сіи рѣшенія совсѣмъ не имѣли нынѣшняго совершенства: они состояли въ простыхъ выкладкахъ съ числами, чрезъ кои были означаемы величины линій.

Другой важный трудъ Бурго есть исправленіе Комнанусова перевода Эвклидовыхъ Элементовъ и прибавленіе къ нему многихъ любопытныхъ примѣчаній. Къ достопамятностямъ пятнадцатаго вѣка принадлежитъ также покровительство, которое Папа Николай V оказывалъ Маѳематикѣ, и будто бы даже самъ перевелъ творенія Архимедовы.

Между учеными шестнадцатаго столѣтія знаніе Греческаго языка сдѣлалось обыкновеннымъ; сіе много способствовало къ распространенію маеѳматическихъ познаній, ибо переводы и изданія твореній древнихъ Геометровъ являлись во множествѣ. Но, кажется, съ сего времени Маѳематики начали отклоняться отъ пути, коему слѣдовали древніе: ѳеорія Геометріи не получила никакого приращенія, а въ практической ея части сдѣланы нѣкоторые шаги впередъ. Нирембергскій Профессоръ Маѳематики Іоаннъ Преторіусъ изобрѣлъ мѣрный столикъ или мензyлу, и Рейнольдъ въ изданной имъ книгѣ Geometiria subterraea показалъ употребленіе Геометріи въ рудокопномъ искусствѣ. Къ сему присоединить надобно и то, что прилагали старанія къ усовершенствованію способовъ тригонометрическаго исчисленія и алгебрагическаго анализа. Ретикусъ издалъ новыя обширныя таблицы тригонометрическихъ линій и ввелъ въ употребленіе секансы; Датчанинъ Виттихій изобрѣлъ способъ, наименованный prosthaphérése, чрезъ который умноженіе синусовъ и косинусовъ; даже чиселъ, превращается въ сложеніе; Юстъ Бюржъ составилъ для сего способа доказательство, Мельхіоръ Іостелій распространилъ его на всѣ тригонометрическія линіи. -- Къ усовершенствованію же тѣхъ алгебрагическихъ познаній, которыя были извѣстны Маѳематикамъ прошедшаго столѣтія, первой приступилъ Болонскій уроженецъ Сципіонъ Феррео; онъ нашелъ, какъ должно разрѣшать одинъ изъ видовъ уравненій третьей степени втоpаго члена, и открытіе сіе сообщилъ за тайну ученику своему Флоридо. Гордясь столь важнымъ приобрѣтеніемъ, имѣя соперничество со славнымъ Тарталеа, Флоридо предложилъ ему нѣсколько такихъ задачъ, разрѣшеніе коихъ зависѣло отъ способа его учителя. Tapталеа предался размышленію, и усилія его не остались тщетными: онъ нашелъ средство не только разрѣшить заданные, вопросы, но усмотрѣлъ, что оное можетъ быть употреблено для всѣхъ трехъ видовъ уравненій третьей степени, въ коихъ нѣтъ втораго члена. Ободренный симъ успѣхомъ, Тарталеа выпросилъ у Флоридо новыя тридцать задачъ; разрѣшилъ ихъ въ нѣсколько часовъ и постыдилъ своего соперника тѣмъ, что предложивъ ему задачи, требующія познанія о всеобщемъ разрѣшеній уравненій третьей степени, принудилъ его сознаться, что онъ ни одной изъ сихъ задачъ разрѣшить не можетъ. Торжествующій Тарталеа написалъ 27 Италіянскихъ стиховъ, въ которыхъ изложилъ свое открытіе. Сіи стихи старался онъ хранить втайнѣ и сообщилъ ихъ токмо одному Кардану подъ клятвою не дѣлать ихъ извѣстными для занимающихся Маѳематикою; но Карданъ не сдержалъ клятвы: онъ издалъ въ свѣтъ Алгебру (1545) подъ титуломъ de Arte magna, гдѣ подробно описалъ правила для разрѣшенія тѣхъ вопросовъ, изъ коихъ составляются уравненія третьей степени; присовокупилъ къ симъ правиламъ доказательства, объяснилъ, какимъ образомъ, должно разрѣшать какъ полныя сей степени уравненія, такъ и тѣ, въ которыхъ недостаетъ третьяго члена; замѣтилъ случаи неприводимые и въ семъ родѣ уравненій; опредѣлилъ искомое количество чрезъ пробу. Сверхъ того Карданъ первый усмотрѣлъ, что уравненія высшихъ степеней даютъ для неизвѣстныхъ многія значенія (квадратныя -- два, кубичныя -- три), между коими однѣ суть положительны, а другія отрицательныя, и доказалъ, что неизвѣстное въ чистыхъ уравненіяхъ нечетныхъ степеней имѣетъ токмо одну дѣйствительную величину, а прочія суть мнимыя.

Лудовикъ Ферраріо, ученикъ Кардана, шелъ далѣе, Іоаннъ Келла предложилъ опредѣлить три числа, которыя составляютъ непрерывную пропорцію и коихъ сумма равняется 10, а произведеніе перваго на второе есть 6. Сія задача ведетъ къ уравненію четвертой степени безъ втораго члена, и Ферраріо, разрѣшивъ ее, проложилъ путь къ общему разрѣшенію сей степени уравненій.

Бомбелли, издавшій въ 1589 году свою Алгебру, старался въ ней привести въ большую ясность открытія Тарталеа, Кардана и Ферраріо; прибавилъ же къ нимъ только доказательство, что неприводимый случай уравненія третьей степени есть тотъ, въ которомъ всѣ три корня суть веществейные.

Хотя упомянутые Маѳематики оказали Алгебрѣ важныя услуги; однако Віета многихъ превзошелъ своихъ предшественниковъ. Первый его подвигъ, обращавшій Алгебру въ науку всеобщую и слѣдственно доставившій ей тючность и ясность геометрическую, есть введеніе буквъ для означенія количествъ. Послѣ такого видоизмѣненія Алгебры Віета могъ приступить къ общей теоріи уравненій. Въ сочиненіи подъ названіемъ De temendаtiotie aиquationum онъ излагаетъ способы, приуготовлять уравненія, т. е. даетъ правила уничтожатъ въ нихъ дроби и второй членъ, увеличивать и уменьшать корни уравненія. Отсюда переходитъ Віета къ разрѣшенію уравненій всѣхъ степеней, и уничтоженіе втораго члена. Въ уравненіяхъ второй степени открываетъ ему новое прекрасное средство разрѣшать сіи уравненія, которыя превращаются чрезъ то въ чистыя. Хотя тоже самое правило, приложенное къ уравненіямъ третьей степени, показываетъ, что Тарталея нашелъ способъ всеобщій; однажды онъ и въ семъ случаѣ проложилъ себѣ новый путь; показавъ, что уравненія третьей степени могутъ быть возводимы въ шестую степень и принимать свойства уравненій второй степени. Трактатъ De emendatione aequationum оканчивается главоб, въ которой доказывается, что если неизвѣстное количество можетъ имѣть многія значенія положительныя, тогда коеффиціентъ втораго члена уравненія будетъ сумма сихъ значеній со знакомъ (--), третьяго -- сумма ихъ двойныхъ произведеній и т. д, до послѣдняго члена, который долженъ быть общее произведеніе оныхъ. -- Отсюда до разрѣшенія уравненій чрезъ дѣлителей послѣдняго члена одинъ только шагъ.

Віета принесъ также величайшую пользу и смѣшенному анализу: введя въ Алгебру буквы, онъ тотчасъ замѣтилъ, что результаты алгебраическихъ операцій могутъ быть переводимы на языкъ геометрической или построяемы, и показалъ способы строить уравненія первой, второй и третьей степени.

Наконецъ изданный въ 1679 году Conon mathematicus свидѣтелѣствуетъ, что Віета зналъ законъ составленія синусовъ и косинусовъ дугъ многогранныхъ: ибо сей Conon mathematicus есть не иное что, какъ таблицы тригонометрическихъ линій, вычисленныя по сему закону. Замѣтимъ также, что онъ имѣлъ въ которую идею о ходѣ коеффиціентовъ членовъ всякой степени отъ двухчастной величины.

Въ заключеніе сего отрывка упомянемъ о Нѣмецкомъ Маѳематикѣ Михаилѣ Штиффелѣ, который есть Сочинитель книги Arithmetica integra (1544), гдѣ видны слѣды изобрѣтенія Логариѳмовъ.


П--въ.


-----


[Перевощиков Д.М.] Продолжение отрывков из Разсуждения о чистой мафематике / П-в // Вестн. Европы. -- 1818. -- Ч.101, N 17. -- С.18-34.